EXPONENTINTEGRALEN — UNIVERSUMS HISTORIA | a production 2008XII22 | Efter sammanställningar från 1997IX27 | Senast uppdaterade version: 2011-10-10 · Universums Historia

 

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i  SAKREGISTER  ·  förteckning över alla webbsidor

 

 

 

EXPONENTINTEGRALEN |  |  i sammanställning för Universums Historia

 

 

Den Speciella exponentintegralens metod

METODEN FÖR EXPONENTINTEGRALER

 

Integraler till xne(P)

 

 

 

UR DEN ALLMÄNNA PARTIKULÄRA LÖSNINGSALGORITMEN utkristalliseras en speciell metod för lösning av alla integraler av typen

 

             ò xne(P) dx

 

EFTERSOM reguljären  yP= [·]/(P)’ inte opererar på varken derivator eller integraler utan enbart grundas på en enkel operativ dividerande verkställighet är dess tillämpning i motsvarande grad också begränsad. Nämligen till funktionsranger som i sin derivatakaraktär inte leder till (aktuellt deriverande) eller kommer från (aktuellt integrerande) andra ranger än sin egen. Eftersom det bara finns två sådana ”rena” ranger, se Tablå 0, nämligen exponentfunktionerna enx och basfunktionerna xn (inkluderat alla dess möjliga kompositioner), är det endast dessa två och inga andra som spelar huvudrollen.

Metoden med den speciella exponentintegralen kan alltså, och enbart av denna anledning, inte fås att fungera på andra kompositioner än just typen

             xn · eax

Det är alltså inte ens (med reservation för mycket speciella undantag) någon idé att försöka. Exponentformen för e måste koppla till basrangen — inga logaritmer eller »trigonomitmer» alltså.

 

Se Inledningsexemplet: Bestäm fundamentalintegralen till integranden e–1/x(2x+1) dx.

Utan kännedom om den speciella metoden ovan (eller ev. motsvarande, här okända) kan vi GLÖMMA varje FÖRSÖK. Det går inte.

 

 

 

 

 

Förklaring

 

FRÅN FÖREGÅENDE UTVECKLINGAR från första ordningens variant f (x)y+y’=[·] med resultat i integralformen

eF(x)y=òeF(x)[·]dx ges, med F(x)=(P) och inkluderat reguljären, följdleden

 

              y’ +  (P)’y = [·]  ............................       variantens form

             e(P)y]=  ò e(P)[·] dx  ........................        integralens form

             yPF = [·]/(P)’  .................................        reguljärens fundamentalterm

             ò e(P)[·] dx = e(P)yP  ........................        integrala lösningen

 

Hur rangtermen utväljs

Speciellt för basrangen xn utväljs rangtermen i den givna variantens HL så [f (x)=(P)’]:

OM

 

·          f (x)  är en reducerande (kontrakterande) variabel
välj termen i HL med lägsta grad/komposition

·          f (x)  är en multiplicerande (expanderande) variabel
välj termen i HL med högsta grad/komposition

 

Se även f (x)=variabel i TRE INDIVIDUELLA TYPFALL FÖR f (x).

 

Om lösningen (yP) uppvisar resttermer:

resttermer:

extrahera högsta termrangen, skifta dess polaritet (tecken), relatera den till y, dividera med

f (x) och insätt resultatet i varianten med de andra termerna;

repetera syntesen tills resten = 0 ;  om syntesen ger monotont växande variabla potenser är lösningen en oändlig serie

 

Koefficienternas Multiplicitet, Anonymen A

Alla funktionsranger genererar multipla koefficienter i successiva deriveringar. I många fall (i det manuella arbetet) kan man inte säkert avgöra koefficientens identitet med en gång inom den aktuella fundamentaltermen (yP). Generellt måste därför fundamentaltermen associeras med en anonym koefficient (A) som sedan (automatiskt) erhåller sin bestämning från syntesen.

 

FRÅNSETT DEN ALLMÄNNA UNIVERSALSATSEN: Dessa nu nämnda paragrafer är de enda villkor man behöver känna till för att framgångsrikt använda den speciella exponentintegralens metod. Den Generella metoden kan syntetiseras

Generell Metod

Vi söker lösningen till fundamentalintegralen ò e(P)[·] dx .

Lösning:

1. Överför integranden till varianten  y’ + (P)’y = [·], använd ExponentialDerivatan Dn(P)a=a(P)a–1Dn(P)

2. Använd partiellt reguljären  yP = [·]/(P)’ för varje syntes

3. Lösningen är  ò e(P)[·] dx = e(P)yP

 

I FÖREKOMMANDE FALL KAN en funktion g(x) transformeras till e(P) genom initieringen

             Lös integralen ò g(x)[1] dx .

             eF(x) = g(x) ;  F(x) = ln g(x) ;  Dn  ln g(x) = Dn F(x) =  f (x) ; …

 

Observera att g(x)=1 (eller en godtycklig konstant) medför att f (x)=0, analogt F(x)=ln1=0, vilket i sin tur medför en division med 0 och därmed en illegal tillämpning. g(x) måste alltid och i vilket fall innehålla en variabel.

 

 

 

 

 

 

ALLMÄNNA EXEMPEL

SPECIELLA EXPONENTINTEGRALENS METOD — För grundfunktionernas derivator, se Bastablån

 

 

 

 

 

 

Exempel 1:

Bestäm fundamentalintegralen till integranden

xn

Lösning:

ò xn[1] dx . 

eF(x) = xn ;  F(x) = ln (xn) = n ln x ;  Dn  n ln x = n/x =  f (x) ;

Varianten genom produktderivatans ekvivalent [eF(x)y]’ ger

y’ + nx–1y = 1  ...........   varianten ; 

yP = [·]/f (x) = 1/nx–1 =  x/n, anonymen ger yP = Ax ;  insättning i varianten ger ; 

A + An = 1 = A(1+n) ;  A = (n+1)–1 . Rest  0 ;  yP = x(n+1)–1 ;

Resultat:     e(P)yP = e n ln x x(n+1)–1 = xnx (n+1)–1 = xn+1(n+1)–1 = ò xn dx .

             ÅterDERIVERING Ger :

             Dn  xn+1(n+1)–1 = (n+1)xn(n+1)–1 = xn .

             Således INTEGRANDEN ÅTER.

Svar:    ò xn dx = xn+1(n+1)–1 .

 

 

Vi studerar en lösning som ger en oändlig serie.

 

Exempel 2:

Bestäm integralen till integranden

e–1/x

Lösning:

Vi initierar den speciella exponentintegralen ò e–1/x[1] dx .

Varianten genom produktderivatans ekvivalent [eF(x)y]’ ger

y’ + x–2y = 1  ......................................   varianten

Vi bestämmer första termen;

y1 = [1]/f (x)                   = x2. Vi insätter  y1 för  y och får

y   = x2 ;

y’ = 2x ;  insättning i varianten ger ;

2x + 1 = 1 ;  Rest:  2x .

Resten relateras direkt till y med teckenskifte och division med x–2, vi får

y2 = [–2x]/f (x)               =–2x3. Vi insätter  y2 för  y i restvarianten

y’      + x–2y       = –2x  .......................    restvarianten

och får då

– 6x2 – 2x          = –2x. Rest:  –6x2 .

Resten relateras direkt till y med teckenskifte och division med x–2, vi får

y3 = [6x2]/f (x)                =6x4. Vi insätter  y3 för  y i restvarianten

y’      + x–2y       = 6x2  ........................   restvarianten

och får då

24x3 + 6x2         = 6x2. Rest:  24x3 .

Och så vidare. Vi behöver inte gå längre då ordningen står klar.

Vi ser (efter visst studium) att fortsättningen blir

 yP         = x2  – 2x3 + 6x4  – 24x5 + 120x6 – 720x7 + 5040x8 – …

             = x2 – 2!x3 + 3!x4 – 4!x5 + 5!x6   – 6!x7    + 7!x8 – …

Summering ger

yP          = n=1 ® (n®¥) å n!(–x)n+1

Resultat:   

 e(P)yP = e–1/x(x2 – 2!x3 + 3!x4 – 4!x5 +…) = ò e–1/x dx .

Svar:    ò e–1/x dx  =  e–1/x n=1 ® (n®¥) å n!(–x)n+1

 

 

 

 

 

sammandrag

 

Sammandrag av den speciella exponentintegralens metod

SAMMANFATTNING av De speciella EXPONENTINTEGRALERNA ò e(P)[·] dx = e(P)yP

 

— Hur löser man generellt en integral med komponenterna g(x)e(P) ?

1.1        Först: Kolla upp om g(x)=Dn(P). Är så fallet kan den ordinära LOG(2) exponentintegralen användas direkt
ò e(P)Dn(P) dx = e(P)

 

1.2        Om Dn(P)=konstant kan integralen till g(x)e(P) i princip lösas genom partiell integration i Metod 2
ò  [·] f (x) dx = [·] ò f (x) dx  –  òò f (x) dx d[·]
f (x)  ...............................................        = e(P)
[·]  ..................................................        = g(x)
I bägge dessa fall (1.1) och (1.2) kan g(x) ha godtycklig rangsammansättning.

2.          Om Dn(P) inte är g(x) och inte heller en konstant, kolla om g(x) och (P) bägge är rena basranger.
Är så fallet, kan integralen till g(x)e(P) lösas genom den speciella exponentintegralens metod
e(P)[ · ]  ...........................................        integrand, g(x)=[·]
y’ + (P)’y = [ · ]  ............................        variant
yP = [ · ]/(P)’  .................................        Reguljär
ò e(P)[ · ] dx = e(P)yP  .....................         Lösning
Notera att denna speciella metod också kan användas som alternativ i fallen (1.2) förutsatt g(x) och (P) bägge är rena basranger.

 

…

 

 

 

 

 

EXPONENTINTEGRALEN

 

innehåll: SÖK på denna sida Ctrl+F · sök alla ämnesord överallt i SAKREGISTER  ·  förteckning över alla webbsidor

 

 

 

EXPONENTINTEGRALEN

ämnesrubriker

                                     

 

innehåll

              EXPONENTINTEGRALEN

 

                                                         Den speciella exponentintegralens metod

 

                                                         Förklaring

 

                       Allmänna Exempel

 

                                                         EXEMPEL

 

                                                         Sammandrag med metoden i sammanfattning

 

referenser

 

 

TNED (Toroid Nuclear Electromechanical Dynamics), eller Toroidnukleära Elektromekaniska Dynamiken är den dynamiskt ekvivalenta resultatbeskrivning som följer av härledningarna i Planckringen h=mnc0rn, analogt Atomkärnans Härledning. Beskrivningen enligt TNED är relaterad, vilket innebär: alla, samtliga, detaljer gör anspråk på att vara fullständigt logiskt förklarbara och begripliga, eller så inte alls. Med TNED förstås (således) också RELATERAD FYSIK OCH MATEMATIK. Se även uppkomsten av termen TNED i Atomkärnans Härledning.

 

 

Senast uppdaterade version: 2011-10-10

*END.

Stavningskontrollerat 2009-01-10.

 

rester

*

åter till portalsidan   ·   portalsidan är www.UniversumsHistoria.se 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PNG-justerad 2011-10-10

åter till portalsidan   ·   portalsidan är www.UniversumsHistoria.se