3D-MATEMATIKEN — Universums Historia

MATEMATIKEN3D 2008XI2 BellDHARMA | 2006XI11 | Senast uppdaterade version: 2011-10-11 · Universums Historia

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning över alla webbsidor

3D-GEOMETRIN 2008 — från 3D-geometrins grunder 2006XI11 | urspr. frn. grundmanus 1978-1984 | — sammanställning med kortare beskrivningar

Sfärperspektivet	Lagerqvistsyndromet	Perspektivkroppen	3D-matematiken \| Linjärperspektivgeometrins grunder

ALLMÄN GENOMGÅNG AV GRUNDBEGREPPEN I

3D-GEOMETRIN

— ENLIGT PILOTSYSTEMET XYZxyz

PILOTSYSTEMET

3D-GEOMETRIN 2008

Pilosystemet — relaterad matematik

Bilden på tjejen är tagen ur en gammal tidning (i slutet av 1990-talet) eller katalog som jag inte minns namnet på. Jag ber om ursäkt för det. Jag hoppas hon inte misstycker att bli utnyttjad på det här oanmälda sättet.

koordinataxlar och rotationsaxlar

xyz

KOORDINATPLAN och ROTATIONSPLAN

XYZ

3D geometri är

(enligt erfarenhet)

den datorstödda

läran och kunskapen om

beskrivning och presentation av

formerna i rummet xyz

på den plana bildytan xy

PRESENTATIONEN AV 3D-GEOMETRINS NOMENKLATUR försvåras avsevärt på grund av den moderna akademins sällsynt illa valda preferenser. Det mest naturliga valet av alla, pilotsystemet med positiva z i framriktningen, används INTE i den etablerade 3D-nomenklaturen på annat sätt än som ett NEGATIVT SYSTEM. Därmed blir matematiken också maximalt krånglig: studenten TVINGAS tänka i onaturliga banor, samt därmed acceptera DET som ”nomenklatur”. Man vänjer sig. I relaterad fysik och matematik är pilotsystemet ett positivt preferenssystem, precis som vi ser DET naturligt (med positivt till höger och uppåt, negativt till vänster och neråt).

3D-GEOMETRIN 2008

3D-GEOMETRINS 3 PUNKTFÄLT

3D-geometrins 3

Vänster:

ytfyllande spegelsymmetrisk figurin av

BellDharma 1995: 1. Robin Hoods Stövlar

2. Porträtt, Escher i Stormhatt, 3. (rotera 90°) Berglandskap med Glaciär.

Höger:

Självporträtt av Escher i litografi 1943 från Grafik och teckningar,

M. C. Escher (1959)

SFÄRPERSPEKTIVET verkar vara helt orepresenterat i den vetenskapligt beskrivande formen på INTERNET. Det finns mig veterligt heller inget (kommersiellt) 3D-program som innefattar den synnerligen enkla sfäriska algoritmen (se nedan). Det finns visserligen artiklar som omnämner termen ”sfäriskt perspektiv”, och som även i en del fall ger någon illustration, men det materialet är ytterst magert för att inte säga helt obefintligt. Det bästa illustrativa materialet är rent artistiskt, av ypperligt hög kvalitet och sammanhänger med namnet Maurits Escher. Men, som han själv skriver, var han mindre intresserad av att förklara och beskriva än att utföra sina helt enorma och fantastiska, högst fascinerande verk. Jag introducerades för Escher i början på 1970-talet av en skolkamrat (en genuin Escherbeundrare), och det är Escher som inspirerat mig att göra en fullständig genomarbetning av (bl.a.) sfärperspektivet.

SFÄRPERSPEKTIVET

Se även översikten från ovanstående allmänna beskrivning i 3D-geometrins 3 punktfält

Exempel:

EXEMPEL 1:

Figuren ovan visar ett bildklot med radien (BildIndex) i = 2,5 enheter. Objektspunkten (P, överst höger) har koordinaterna

P(XYZ) = P(0;3;3)

vilket ska motsvara objektspunktens spegelbild på klotytan precis på omskrivna klotets cirkelradie i den aktuella vyn.

Bildpunktens y-koordinat blir då med ovanstående härledda samband

y = iY/(d+Z) med d = (X²+Y²+Z²)^0,5

som ger

= (2,5)(3)/([0²+3²+3²]^0,5 + 3)

= 1,0355339

Med figurens hjälp ser vi att detta värde stämmer utomordentligt väl med figurens skalvärden.

Sfärperspektivet — härledning:

d = √ X² + Y² + Z²

= avståndet från koordinatorigo till objektspunkten (P);

Ys Zs i Ys y i i

—— = —— = —— ; ——— = — ; Ys = Yp — ; Zs = Zp — ;

Yp Zp d i+Zs i d d

i + Zs = i + Zp(i/d)

= (i/d)(d+Zp) ;

Ys/(i+Zs) = Ys/(i/d)(d+Zp) ;

Ys = Yp(i/d) ;

Y = Yp ;

Ys/(i+Zs) = Yp(i/d)/(i/d)(d+Zp)

= Yp/(d+Zp) ;

Resultat:

Ys y Yp

——— = —— = ———

i+Zs i d+Zp

Härledningen ovan för Y-koordinaten med vyn sedd från sidan gäller även för X-komponenten med vyn sedd ovanifrån, sambandet blir analogt

Xs x Xp

——— = —— = ———

i+Zs i d+Zp

Se även vidstående Exempel.

Beviset för att relationerna gäller även i fallen då spegelpunkten Ps inte ses exakt på sfärytans rand i vyn baseras på att:

— Ps ligger i vilket fall på linjen (gömda cirkelbågen som Y-linjen ritar upp på den speglande klotytan, se även vidare i vidstående Exempelbeskrivning) mellan Ps[som ovan] och sfärens origo [O]:

— Triangelrelationerna

Ys/Yp = Zs/Zp med Ys/(i+Zs)= y/i

blir i vilket fall analoga — oberoende av X med givna YZ.

— Det enda som (då) bestämmer bildpunktens placering (y som ovan i exemplet) blir alltså X i d: y går mot noll som X växer obegränsat. Samma typresonemang gäller sedan också för bildpunktens x-koordinat med projektionen sedd ovanifrån (delvis i mixad vy i vidstående exempelfigur).

EXEMPEL 2:

Vi använder samma YZ-värden som i Exempel 1 men ett alternativt X-värde, X=6;

[Flera olika sätt finns att kontrollberäkna de inre värdena, alla kräver dock god inblick i ellipsens och cirkelns elementära geometri, en del av dessa delar finns beskrivna i CEPH-ekvationen, vi förutsätter här den bekantskapen];

P(XYZ) = P(6;3;3)

Det motsvarar objektspunktens spegelbild på klotytan i den markerade punkten mellan Ps.O i exempelfiguren.

Bildpunktens y-koordinat blir då

y = iY/(d+Z) med d = (X²+Y²+Z²)^0,5 som ger

= (2,5)(3)/([6²+3²+3²]^0,5 + 3)

= 0,7247448

vilket vi med figurens hjälp ser stämmer utomordentligt väl.

NOTERA att (xyz)=0 ligger i sfärens centrum i sfärperspektivet, medan motsvarande (xyz)=0 för linjärperspektivet ligger i den motsvarande sfärytans ögonpunkt; ögonpunkten endast FÖRMEDLAR — inte utgör centralpunkten hos — den bild som ses med PC (PerceptionsCentrum|PerspektivCentrum) i sfärens centrum. Alla Objekt(xyz) ses därför förminskade i Sfärperspektivet relativt Linjärperspektivet med samma utgångsvärden,

Linjära Sfäriska

För att få ungefärlig överensstämmelse i växlingen Sfäriskt-Linjärt kan Bildindex (i) ökas till Z.K (Objektets eget koordinatorigos Z-avstånd). Jämför bilden nedan i sfäriskt perspektiv (i = Z.K) med föregående linjärperspektiv ovan vänster (Z.K > i):

3D-GEOMETRIN 2008 | 3D-nomenklatur

3D-nomenklatur

För att framgångsrikt kunna arbeta med 3D-programmen, är det avgörande viktigt att först förstå vad programmakaren menar att de olika riktningarna betyder.

Den mest naturliga preferensen för 3D-geometrin, pilotsystemet xyz, omnämns inte ens i den moderna etablerade matematiska nomenklaturen. Istället används ett s.k. högersystem** baserat på en SKRUVANALOGI som alltså kräver ytterligare förtrogenhet för lekmannen (**+z är den riktning »en högergängad skruv» stiger då den vrids positivt i xy-planet [samma som Z-planet i pilotsystemets termer]; –z i termer av pilotsystemet, alltså bakåt).

DE TVÅ ENDA OCH MÖJLIGA ROTATIONSKOMPLEXEN (RotI&II) omnämns inte i den etablerade 3D-nomenklaturen — i varje fall inte i någon direkt uppenbart iögonenfallande mening. Naturlig konsekvens: förhållandevis FÅ personer känner sig dragna till ämnet, och även då endast under speciella (högst privata) föreställningar som den personen (naturligtvis) har SVÅRT att förklara för andra. Hela ämnet blir därigenom ”intuitivt” — därför att man inte känner metoden.

3D-GEOMETRIN 2008 | Rotationer

ROTATIONERNA I 3D-GEOMETRIN

Ännu (November 2008) finns på @INTERNET ingen reguljär (eller någon alls) beskrivning av rotationskomplexet i 3D-geometrin som beskriver de TVÅ enda och möjliga rotationssystem som finns — i någon begriplig mening för en icke-högskolefamiliär person. Här ges en fullständigt orienterande genomgång.

bildrotation och systemrotation — 3D-geometrins rotationskomplex

3D-geometrin innehåller TVÅ rotationskomplex: RotI och RotII.

Den ordningen omnämns inte i modern akademisk litteratur.

Rotationskomplex I Rotationskomplex II

Rotationsplanen i ROT I Koordinatsnurran i ROT II

bildrotation systemrotation

fasta rotationsaxlar rotationsaxlarna följer med

Ovanstående illustrationer ansluter till författarens genomgång av de olika rotationskomplexen per matematik. En mera utförlig beskrivning ligger tyvärr (ännu) utanför ramen för denna korta presentation. Dock kommer här de mest elementära delarna att genomgås så att läsaren själv längre fram kan hänga med i sådana praktiska exempel som t.ex. omvandlingen mellan ekvatoriella och galaktiska koordinater. Se särskild beskrivning i Solgalaktiska Koordinaterna.

Minst tre rotationer krävs för att via vridningar flytta en objektspunkt till ett godtycklig ställe.

Rotationskomplex I — bildrotation. En given punkt roteras (planförflyttas) på sin rotationscirkel genom varje bild-koordinataxels fasta rotationscylinder. Föremålet (varje punkt) roteras utifrån bildsystemets fixa systemaxlar. Härledningen till rotationskomplex I begagnar den elementära trigonometrins begrepp i pilotsystemet xyz och är därför förhållandevis enkel.

Rotationskomplex II — objektsrotation eller systemrotation. Föremålet roteras utifrån sina egna systemaxlar — som följer med i rotationen. Härledningen till rotationskomplex II kan återföras på en ‘koordinatsnurra’ — en stav med en cirkelskiva i änden på vilkens periferi den aktuella koordinatpunkten P_xyzsitter.

Rotationskomplexen I och II förhåller sig till varandra som varandras omvändningar.

Exempel:

ROTI ....................... 45°zW, 30°xW, –15°yW

ROTII ...................... –15°yW, 30°xW, 45°zW

Samma värden, men i omvänd ordning. Slutpositionen blir i bägge fallen densamma.

gyromodellen

I studier av geometrin rekommenderas (här) läsaren starkt att införskaffa sig en gyromodell typ ovanstående författaroriginal (från Maj 1981): modellen är utskuren med passepartoutkniv i 1mM och 2mM vit passepartoutkartong i enskilda cirklar. Hela anordningen har sammanfogats med enkla egenkonstruerade kopparnitar, knappnålar, vattenbaserat lim och 2mM skruv med mässingsmutter (fanns en gång i tiden på Clas Ohlson). Samtliga cirklar är vridbara och roterbara. I mitten sitter en axiellt vridbar kub. Skalorna har ritats med tusch, vattenbaserade färgpennor och gnuggisar (numera en i princip helt utgången teknik som användes mycket av många under 1970-talet), samt förseglats med fixativ för att ge ytan ett plastiskt skydd mot fukt och damm. Man har (min erfarenhet) garanterat mycket glädje av en sådan modell i olika trixiga analyser inom 3D-geometrin. Modellen har hängt med författaren nu i 27 år — fortfarande till nytta.

Satsen kan förstås direkt med hjälp av en (»enkel») gyromodell. Se vidare nedan i Rotationssatsen. Det rent matematiska beviset är mera krävande och baseras på bevisande ekvivalens mellan de bägge ovan nämnda RotI&II. Beviset ryms tyvärr inte i den här framställningen.

Se även utförlig praktisk tillämpning i Solgalaktiska Koordinaterna.

RotI

är som biosalongen och biobesökaren: betraktaren kan snurra objekt i filmen genom ett fast (magiskt) salongssystem (RotI) med rotationsaxlarna xyz och rotationsplanen XYZ: framifrån (zW), mellan händerna (xW, bilden ovan vänster), ovanifrån (yW).

RotII

är biobsökaren inuti filmen: aktören — som själv följer med objektet i rotationen — kan rotera objektet med referens till någon av dess egna koordinataxlar xyz.

Rotationsordningen i RotII är analog med den astronomiska koordinatbeskrivningen (se vidare i Solgalaktiska Koordinaterna).

RotII sammanhänger HELT med matematiken för den linjära perspektivgeometrin genom ENHETSHYPERBELN. Se vidare beskrivning nedan, (samt vidare utförlig i HP-geometrin, ingår inte i denna presentation).

3D-GEOMETRIN 2008 | Den linjära perspektivgeometrins grunder

Riktkuben	Lagerqvistsyndromet	HP-kroppen	3D-matematiken

Den linjära perspektivgeometrins grunder

enhetshyperbeln — Linjärperspektivens definition genom HYPERBLER som bildar perspektivets motsvarande HP-kropp:

HorisontalPerspektiv-kroppen [HP-kroppen]

DEN LINJÄRA PERSPEKTIVGEOMETRIN syntetiseras av ENHETSHYPERBELN med RIKTKUBEN i origo.

HP-matematiken

i, bildindex

, horisontalindex (orig. L i Mural Script — kan inte läsas av t.ex. Firefox)

Horisontalekvationen Horisontalteoremet

d = tanW·i = i √ 1+ (tanW)²

Riktkuben

Horisontalekvationen. Gränspunkten för en linje som är vriden i planet vinkeln W grader har från horisontens normal avståndet tanW·i.

Nedanstående riktkubsmodell är byggd i Anim8or — men det är närmast oerhört krångligt att få den att fungera efter programmets tänkta funktioner. Kuben drar t.ex. iväg Gud vet vart om man försöker med Ctrl+Z efter en genomförd rotation, samt det faktum att DET läget INTE blir det ursprungliga. Jämför Simply3D som en gång fanns i Windows95-miljön: enkelt, OCH rena drömmen jämfört med Anim8or.

NOTERING

NOTERING, MODERN AKADEMISK LITTERATUR OCH NOMENKLATUR

Riktkuben tycks vara ett helt okänt begrepp i moderna kretsar:

Ingenting av det ovan nämnda står att läsa om i den befintliga bibliotekslitteraturen.

Olika författare som försöker beskriva linjärperspektivet talar om typerna

”enpunktsperspektiv”, ”tvåpunktsperspektiv” och ”trepunktsperspektiv”. Dessa motsvarar HP-geometrins ”en kub sedd rakt framifrån”, ”en kub vriden horisontellt” och ”en kub vriden godtyckligt”. Men riktkuben beskrivs aldrig i etablerade kretsar då man (tydligen) inte känner till linjärperspektivens (enkla, men omfattande) sammanfattande matematik.

Se även Lagerqvistsyndromet till jämförelse.

Riktkubens skärning med bildplanet definierar perspektivets gränspunkter. Illustrationerna visar i tur och ordning en gränspunkt, två gränspunkter, tre gränspunkter.

3D-GEOMETRIN 2008 | Linjärperspektivets gränspunkter

LINJÄRPERSPEKTIVETS GRÄNSPUNKTER

PRINCIPEN FÖR

Matematisk presentation av linjärperspektivets gränspunkter

Betecknas riktkubens koordinataxlar med (xyz)_i, blir deras skärning (xyz)_iZ med bildplanet (Z) detsamma som linjärperspektivets gränspunkter P(xyz)_iZ med respektive bildkoordinater xy enligt P(xyz)_iZ[xy]. Totalt med positiva och negativa riktningar ges alltså 6 gränspunkter (max 3 synliga) med 12 koordinatvärden (max 6 synliga).

Man får xy-koordinaterna för perspektivets gränspunkter P(xyz)iZ genom att ange riktkuben på enhetsform med x=y=z=1. Efter genomförda rotationer ges sedan gränspunkternas bildkoordinater [xy] i P(xyz)_iZ[xy] direkt genom BILDEKVATIONEN enligt {x|y}=i{x_P|y_P}/z_P med (xyz)_P från rotationerna av riktkubens enhetsform x=y=z=1, och {x|y} motsvarande respektive x och y i den sammanförda beteckningen [xy].

Rotationernas reguljära matematik beskrivs utförligt i Rotationerna i 3D-geometrin.

Rotationernas geometri beskrivs översiktligt i 3D-geometrins rotationskomplex.

3D forts.

Gränspunktssatsen:

Gränspunkten för bilden av framänden på alla möjliga linjer i golv och takplan

som sträcker sig mot oändligt, sammanfaller med bilden av huvudpunkten (a i fig:2) på z-axeln.

Bildindex i anger avståndet mellan perceptionscentrum (PC, »filmprojektorn», betecknat A i figurerna 1 och 2 ovan) och bildplanet (»bioduken», betecknad Zplanet i figur 2).

Perspektivets styrka beror inte på i utan på den upptagande synvinkeln mellan PC och objekten. Stora upptagande synvinklar motsvarar »bilder av jättestora objekt»,

medan små synvinklar ger ett alltmer plangeometriskt (»perspektivlöst») intryck. Bildcirkeln i och PC bildar alltid en synkon med nittio graders upptagande synvinkel.

Det avbildade konceptet (salongen i figur 1) illustrerar den åskådliga härledningen till gränspunktssatsen inom perspektivgeometrin.

Begreppet framgår syntetiserat genom figurerna 2 och 3.

3D-GEOMETRIN 2008 | Bildekvationen

3D forts.

Bildekvationen — Från 3D till 2D

Alla rådata som beräknas av ett 3D-program måste i slutänden omtransformeras till endast två koordinater xy på bildskärmen.

För det linjära perspektivets del sker den transformationen med hjälp av en speciell bildekvation. Den används också i omtransformationen för sfärperspektivet i en något modifierad form, se föregående 3D-geometrins 3 punktfält.

Oavsett typ av perspektiv (linjärt, sfäriskt, eller annat) måste slutbilden alltid, i vilket fall, relateras till en plan bildyta typ bioduk eller bildskärm. Genom att linjärperspektivet innehåller just den elementära planytans absolut mest elementära element, blir också bildekvationen nedan grundform för alla typer av perspektiv. Jämför sfärperspektivets specifika bildekvation i föregående 3D-geometrins 3 punktfält.

explicit:

f_x= x = i([X+X.K]/[Z+Z.K]) k_x=X+X.K

f_y= y = i([Y+Y.K]/[Z+Z.K]) k_y=Y+Y.K

BILDEKVATIONENS ENKLA RÅFORM är x_i=ix/z, y_i=iy/z.

Bildekvationen återför rums- eller objektspunkten (xyz)_P från perceptionscentrum (PC) på bildplanet i dess två koordinater (xy)_i. Genom att utnyttja en kropps egensystem (XYZ)_K som är placerad i rummet i (XYZ)₀ förenklas transformationerna enligt sambanden ovan för kroppar bestående av stora punktmängder — så som det ju också är i den datorstödda 3D-geometrins värld.

Rotationerna i 3D-geometrin

Rotationerna i 3D-geometrin

3D-ROTATIONERNAS STORA TILLÄMPNINGSOMRÅDE: SNABBA DATORBASERADE PROGRAM MED STORA PUNKTMÄNGDER

HUR ROTATIONERNA I 3D-GEOMETRIN UTFÖRS I PRAKTIKEN

Alla punkter i den strikt matematiska behandlingen av 3D-geometrin roteras utan undantag genom Rotationskomplex I. Rotationsaxlarna xyz har rotationsplanen eller rotationscirklarna XYZ.

Med utgångspunkt i Z-planet — koordinataxlarna xy — roteras en given punkt P(xy) enligt sambanden från vinkelsummateoremet. Rotationen av P(xy) blir i PREFIXxSIN för zW

x := x sinW – y cosW

y := y sinW + x cosW

xy i HL (förkortning för HögerLed) är objektskoordinaterna och xy i VL är de resulterande från rotationen W. Ordningen för rotationerna xW och yW fås på samma form genom att insätta resultaten för xy i faktorerna zy för xW och xz för yW.

Exempel i PREFIXxSIN:

Punkten P(–1=x; 0=y; 0=z) — P(–1,0,0) — roteras –(asin 3/5)yW med sinW=3/5=0,6 och cosW=4/5=0,8 (vi minns att sin–A=+sinA); termerna xy i Z-planet motsvarar termerna xz i Y-planet så att man får:

x := (–1)(3/5) – 0 cosW = –0,6

z := 0 sinW + (–1)(–4/5) = 0,8

Punkten P(–0,6=x; 0,8=z; 0=y) roteras sedan –(90°)zW som ger:

x := (–0,6)(0) – 0 cosW = 0

y := 0 sinW + (–0,6)(–1) = 0,6

Punktkoordinaterna är då P(0=x; 0,6=y; 0,8=z)

Mera utförliga exempel ges i Solgalaktiska Koordinaterna.

Mycket mer finns att berätta och illustrera i 3D-geometrins grunder.

Det som framställts ovan är endast de absolut viktigaste grundbegreppen som krävs för att kunna hänga med i 3D-beskrivningarna generellt.

Se även efterföljande Rotationssatsen.

Lagerqvistsyndromet — infört 11Okt2011 från doc-originalet KALKYL_MsWORKS.doc, HP-GEOMETRIN s86, med tillägg.

LAGERQVISTSYNDROMET

Små observatörer inför stora objekt

Hur man framställer läromaterial som bygger på felaktigt uppfattade kunskapssammanhang

Linjärperspektiven kan INTE ändra den plangeometriska egenskapen för figurer i rumsplan som är parallella med bildplanet Z. Sådana figurplan motsvarar snitt i plana synkoner och kan bara visas större eller mindre beroende på avståndet till PC.

Figur a visar ett snedställt kvadratiskt rutnät (K) i Z på i från PC. Kvadratens diagonal har satts lika med 2i (i anger BILDINDEX, se ill. Perspektivgeometrins grunder).

Fig:a

Figur b visar vad som händer för varje minsta uppvridning av K kring x.

Fig:b

Ju närmare K-spetsen (P) kommer PC i uppvridningen, desto längre och spetsigare blir HP-bilden i Z av P|x. Med P exakt i PC, försvinner bilden av K som då göms i Y-planet av x. Exemplet illustrerar den linjära perspektivbild en människa ser ju närmare hon kommer mycket stora objekt.

Jämför modern akademi:

Lagerqvists påståenden till figurerna 55 och 72

Figurerna [55][72] nedan är inskannade och här förminskade original från bibliotekslitteratur

PERSPEKTIVLÄRA, Erik Lagerqvist, Bonniers 1964, s28-29 (Fig. 55), s36 (Fig. 72);

Bokens figurtext (färgmarkeringarna är mina):

Fig. 55

”Föremålets placering i höjdled, nedanför eller ovanför horisonten, sker givetvis efter eget gottfinnande, dock må man se till att ingen del av föremålet kommer utanför cirkelns periferi. Avbildar man t.ex. en snedställd kvadrat på ovanstående sätt (fig. 55) och dess främsta, mot betraktaren vända hörn placeras utanför cirkelns periferi blir det spetsvinkligt — alltså mindre än 90° — vilket är orimligt. Framställt i perspektiv måste detta hörn under alla förhållanden bli trubbvinkligt, dvs. mer än 90°. Även att placera hörnet på cirkelperiferien, varvid vinkeln blir exakt 90°, är alltså felaktigt.”

Fig. 72

”Den gemensamma ytan HKL av de därigenom uppkomna cirkelsegmenten är det teoretiska området för en bildframställning med hjälp av trepunktsperspektiv. Skulle bilden — t.ex. kuben i fig. 72 — sträcka sig utanför detta område, innebure detta att hörnvinklarna u, v och y skulle bli spetsiga, vilket vore orimligt. (Redan att de i en perspektivbild är räta, är en orimlighet. De måste under alla förhållanden bli trubbiga, se fig. 55.)”

Notera först och främst att författaren, tydligen, inte motiverar sina, tydligen lika, strängt hållna påståendesatser angående

”utanför cirkelns periferi” och

”orimligt” och

”under alla förhållanden”, och

”det teoretiska området”.

Anledning:

— ÄVEN i det att författaren, tydligen, INTE känner till DEN LINJÄRA PERSPEKTIVGEOMETRINS ÖVERGRIPANDE HP-kropp, BORDE han ha förstått så pass mycket av ÅSKÅDNINGSGRUNDERNA (titta ner på Jorden och tänk en vridbar kvadrat inuti Jordsfären, figurerna ab ovan) att han kunnat bespara LÄSAREN de tydligt befängda ’auktoritetsmeningarna’ ovan. Lagerqvists märkliga, helt orelaterade, påståenden till figurerna 55 och 72.

— Med andra ord: författaren har av ej närmare känd anledning tydligen (för det första) ärvt en ’omöjlighetsmening’ från någon (äldre) ’lärare’ och som tydligen grundas på en direkt OKUNNIGHET om på vilket sätt, och hur, den linjära perspektivgeometrin sammanhänger. Nämligen genom HP-kroppen:

— Modern akademi känner uppenbarligen inte till perspektivgrunderna.

Vi studerar det i ljuset av Lagerqvists påståenden;

LAGERKVISTSYNDROMET I FORMULERING OCH BEVISNING

Kolla nämligen i-cirkeln (fig.55) i Lagerqvists HP-kropp:

Lagerkvists egen perspektivkub här utritad nedan med HELA HP-kroppens hyperbelgrenar [streckade] för att visa det exakta sammanhanget:

— Nämligen: Lagerqvist VET tydligen INTE vad han talar om — ELEMENTÄRA KUNSKAPER fattas tydligen i ämnet.

— Citatförfattarens egna påstående innefattar direkta motsägelser:

Inskannad förminskad kopia av original i A4-format, författarens arkiv från grundmanuskripten Aug1984 till HP-geometrin.

— En motsvarande formulering på webben har f.ö. eftersökts som BESKRIVER ömsesidigheten i de två möjliga rotationskomplexen RotI&II, och som ansluter till ovanstående, men har ännu inte påträffats [Okt2011].

— Webben [se exv. Wikipedia, Perspective (graphical)] använder den föråldrade beskrivningsformen med enpunkts, tvåpunkts och trepunktsperspektiv, [se Riktkuben] men ingen övergripande MATEMATISK SYNTES som visar sammanhangen framträder i dessa beskrivningar. Jämför HP-matematiken [BILDEKVATIONEN, HORISONTALEKVATIONEN, HORISONTALTEOREMET].

HP-kroppen i Lagerqvists Fig.72 här förtydligad ovan med fullständiga HP-data.

— Enligt Lagerqvist, se citatet Fig.72, skulle ”det teoretiska området för en bildframställning med hjälp av trepunktsperspektiv” vara det streckade partiet inom de tre H-cirklarna.

— Enligt Lagerqvist, citat Fig.55, skulle det partiet enligt Lagerqvists tydligt hemliga önskemål men som inte finns med i den praktiska perspektivgeometrin emellertid också begränsas av en i-cirkel (och vars SAMMANHANG Lagerkvist tydligen inte känner till); Kvadrathörn i Z-planet (Fig:a) får alltid EXAKT 90° där.

— KUBEN i bilden utgår ifrån i-cirkeln (färgad) som ett xyz-roterat objekt i denna, och erhåller SÅ genom hyperbelgrenarnas motsvarande horisontrotationer motsvarande »horisontcirklar» — vilket Lagerkvist uppenbarligen inte medger någon öppning för.

— Och följaktligen, som vi ser av helhetsperspektivkroppen ovan, där Lagerqvists figur 72 ingår:

— LinjärPerspektivbegreppets ENHETLIGHET utgår uppenbarligen INTE ifrån de tre horisonterna eller horisontcirklarna — man kan inte formulera saken så — utan från den centrala BILDCIRKELN (i) och som naturligtvis också har sina kvadrater i sina rotationskroppar och som här alldeles tydligt SKÄR IGENOM Lagerqvists ’stränga teoretiska område’.

— Linjärperspektiven medger således BÅDE spetsiga kvadratvinklar, figurbegreppen i ab, OCH att sådana från en visst given horisontcirkel kan sträcka sig utanför en annan given horisontcirkel.

— (Lagerqvists) PÅSTÅENDEN strider ALLTSÅ mot de egna teserna — som källan dessutom INTE redovisar upphovet till (Lagerqvistsyndromet).

— Bibliotekslitteratur under 1900-talet, modern akademi. Grundläggande kunskaper i ämnet saknas, tydligen som det får förstås, i modern akademi.

HP-kroppen — infört 11Okt2011 från doc-originalet KALKYL_MsWORKS.doc, HP-GEOMETRIN s86, med tillägg [urspr. från grundmanus 1984].

HP-kroppen

Se även Riktkuben

PROJEKTIONSLINJEN PC till objektslinjer PARALLELLA MED HP-kubens xyz-linjer får också dessa som gränslinjer då projektionslinjens längd utsträcks obegränsat.

Därmed definierar HP-kubens xyz-skärning med Z gränspunkterna xyz för 3D-perspektivet.

GRUNDERNA I

Den Linjära Perspektivgeometrin

eller TREPUNKTSPERSPEKTIVEN eller TRIANGELPERSPEKTIVEN eller HYPERBOLISKA PERSPEKTIVEN eller

HORISONTALPERSPEKTIVEN

DE LINJÄRA PERSPEKTIVENS GEOMETRI — trepunktsperspektiven, triangelperspektiven, hyperboliska perspektiven, eller som vi här ska kalla dem, HORISONTALPERSPEKTIVENS GEOMETRI (HP-Geometrin) — utgår ifrån DET FASTA PILOTSYSTEMET (xyz)_i med origo i PERCEPTIONSCENTRUM (PC); En fritt vridbar RIKTKUB xyz (HP-KUBEN) insätts med sitt hörn i PC;

HP-kubens skärning med ett fast (xy-) BILDPLAN Z på avståndet i (BILDINDEX) från PC definierar gränspunkterna xyz för bilden i Z av 3D-rummets alla möjliga xyz-paralleller.

(HP-geometrins fundamentalteorem).

Bilden av HP-kuben i Z bildar alltså en triangel. Därav benämningarna triangelperspektiv eller trepunktsperspektiv.

Varje HP-triangel kan återföras på en symmetrisk eller likbent grundtriangel vars gränspunkter följer enhetshyperbelns ekvation

(halva horisonten = √ i²+d² = ). Därav benämningen hyperboliska perspektiven.

PC [perceptionscentrum, projektionscentrum] motsvarar biosalongens filmprojektor, Z motsvarar filmduken.

Varje objektspunkt (Pxyz) i 3D-rummet och PC bildar en projektionslinje.

Objektspunkterna avbildas som projektionslinjens skärning med bildplanet Z.

[Rotationerna i HPG (horisontalperspektivgeometrin) bildar rotationskomplex II (xyz-medföljer rotationerna)].

Koordinatplanen/horisontalplanen hon(XYZ) som koordinataxlarnas xyz-normaler, ger tillsammans med dessa de sex linjerna xyz XYZ som indelar HP-kroppens större triangel hon(XYZ) i sex mindre rätvinkliga trianglar.

(Allmänna egenskaper).

HP-kroppens uppritning — 3 olika sätt

2 linjer, 4 punkter definierar HP-kroppen, se figuren närmast nedan.

1. Vi drar horisonten (Y —),

2. lodlinjen (y |),

3. markerar PC=HP-kubens hörnpunkt,

4. markerar lodlinjens längd,

5. markerar endera återstående gränspunkten på Y.

Koordinataxlarna xyz är normaler till horisonterna XYZ. Därmed är HP-kroppens 6 rätvinkliga trianglar bestämda genom ovanstående: xyz-linjerna går alla genom mittpunkten PC och avskär därmed samma antal rutor per som horisonterna gör i normalriktningen.

CHEOPS REKTANGEL bd=h² ger bildindexcirkeln

i = √ (2|3)(3|4) = √ 2×8 = 4.

HP-kroppens allmänna konstruktion (med linjal) på RUTAT PAPPER.

Skalenlig 3D-Måttsättning

Skalenlig 3D-måttsättning i givet horisontalplan (H) med horisontlängden (från symmetriska bastriangeln)

görs genom att fälla ner H plangeometriskt via CHEOPS REKTANGEL (=h) bd=h², h=√bd.

h fås med passare genom att först dela b+d=2R i hälften (dra lika stora cirklar från 2R-sträckans ändpunkter, cirklarnas skärning på ömse sidor om 2R ger en normal till 2R som delar denna precis mitt itu), och sedan dra cirkeln R från mittpunkten. Skärningen mellan R och H-normalen genom PC definierar h, analogt den i R-cirkeln inskrivna rektangeln (från Cheops rektangelteorem).

Figurerna i den nedfällda plangeometriska H-delen överförs sedan via deras referenspunkter (P) till en H-parallell som flyttas upp (se figuren ovan) så att den skär genom PC. Därmed kan motsvarande HP-linjer dras från P till respektive gränspunkter på H. Figuren ovan exemplifierar tillvägagångssättet.

FLERA SÄTT FINNS att teckna HP-kroppen.

Exemplet nedan från i-cirkeln.

3 punkter med i-cirkeln definierar HP-kroppen, se figuren närmast nedan.

1. Vi drar i-cirkeln från punkt 1,

2. markerar horisonten (H) genom punkt 2,

Därmed är nästan hela HP-kroppen given:

2 medför via givet i att också blir givet (2|2),

3. samt därmed också lodlinjens längd via normalen 2|3

4. HP-kroppen fullständigas genom att bestämma gränspunkten på H för endera av de bägge återstående koordinataxlarna.

HP-kroppens allmänna konstruktion (med linjal OCH passare) på RUTAT PAPPER.

Ytterligare ett sätt:

4 punkter med en H-cirkel definierar HP-kroppen, se figuren närmast nedan.

1. Vi drar horisonten (H);

2. Vi drar H-cirkeln med radien R från punkt 0 (ej utsatt),

Därmed ges gränspunkterna 2 och 4.

3. Vi anger lodlinjen, samt PC på denna (punkt 5), vilket också ger punkten markerad 3.

Två av HP-kroppens rätvinkliga trianglar delar på en gemensam rektangeldiagonal via 2R. Normalerna i punkterna ab blir därmed givna via PC, och därmed även den sista gränspunkten (8).

Med detta sätt tvingas PC, punkt 5, ligga INOM R-cirkeln.

HP-kroppens allmänna konstruktion (med linjal OCH passare) på RUTAT PAPPER.

Från passare och linjal till plotters och dagens datorer

Ända fram till »brytningstiden» under 1980-talet (då olika datorplotters började dyka upp) fanns bara i stort sett Passare och Linjal för att utföra olika ritningar för gemene man. Man hade ritbräden, vinkelhakar, textmallar, gnuggisar och i allmänhet Rotrings tuschpennor (och Caran D’aches 2mM blyertsstiftpennor) som kunde köpas hos alla välsorterade bokhandlare. Idag (2011) finns inte ett spår kvar av den epoken. Det är som att en hel värld har »transformerats» till en helt annan.

— I dagens läge (2011) kan i stort sett alla möjliga 3D-komplex utföras direkt på datorer (och skrivas ut med högupplösande skrivare) — tyvärr ännu inte med några direkt enkla program som kan användas utan mer eller mindre ingående 3D-erfarenheter.

3D-GEOMETRIN 2008 | PILOTxyz.wps 2001II16 | urspr. frn. Index7c.wps 1998VI26 | Rotationssatsen

ROTATIONSSATSEN

Med hjälp av en gyromodell kan man relativt enkelt konstatera den omvända samhörigheten mellan de bägge rotationskomplexen I och II.

En motsvarande beskrivning eller omnämnande har eftersökts på webben (@INTERNET November 2008) men inte hittats.

Modellen nedan är en konstruktion av denne författare från 3D-programmet Simply 3D som en del datortidningar gav ut som gratisprogram under Windows 95-eran. Tyvärr fungerar inte Simply 3D på senare datorsystem (32-bitar och uppåt) — vilket är synd med tanke på dess relativa enkelhet och därmed utmärkta verktyg för nybörjaren. Sådana program varken finns eller görs i dag, samtliga gratis 3D-program är (numera) så komplicerade att nybörjaren snarare avskräcks än känner sig inbjuden.

Vi studerar hur omvända rotationerna i det fasta bildsystemet är exakt samma som rotationer i gyrosystemet.

Väl det en gång fattat tillsammans med vinkelsummateoremet, finns inget rotationsproblem som inte kan lösas.

Sambandet mellan RotI och RotII — Följande beskrivning använder genomgående Pilotsystemet

1998VI26

I koordinatgyrot nedan till vänster Gyro1 ser vi att första rotationen alltid är gemensam för bägge rotationskomplexen I och II.

— Tänker vi oss nu att vilja rotera yW (rotation kring fasta vertikalaxeln) via RotI från detta läge ser vi direkt att detta är detsamma som att vrida gyro-x-axeln helt plant utmed den fixa Y-ringen i det fasta RotI-systemet. Med negativt 15ºyW i RotI får vi resultatet i Gyro2.

Om vi nu i detta slutläge Gyro2 vrider upp kuben via det andra rotationskomplexet, RotII, alltså via kroppssystemets x-axel, så att gyro-Y-planet återigen sammanfaller med den fixa Y-ringen, Gyro3, då är det klart att

	Gyro 1	Gyro 2	Gyro 3	Gyro 4

RotI	30ºxW	30ºxW, –15ºyW	–15ºyW	Gyrot nollställt
RotII	30ºxW	–15ºxW, 30ºyW	–15ºyW	Gyrot nollställt

1. xW blir nollställt för RotII — som alltså innebär att motsvarande baklänges rotation från Gyro2 i RotII är –30ºxW

2. den sista vridningen för att nollställa gyrot blir de återstående 15 graderna från RotI, alltså samma som för RotI (gyro-x-axeln, i Y-ringens gömda plan, har hela tiden legat kvar på exakt samma ställe som den lämnades via den andra rotationen –15ºyW i RotI).

— Om vi nu genomför dessa för RotII diskuterade baklängesrotationer

— –30ºxW, 15ºyW — men baklänges — –15ºyW, 30ºxW — så att vi börjar med yW och tar xW sist, kommer vi alltså tillbaka till läget i Gyro2. Slutsatsen blir alltså :

RotI 30ºxW, –15ºyW

ger exakt samma resultat som

RotII –15ºyW, 30ºxW

Exakt samma rotationsvärden — samma rotationsbeteckning — men i omvänd ordning.

Med andra ord ; RotI och RotII ger samma resultat om samma vinklar och värden från det ena rotationskomplexet tas i omvänd ordning mot det andra. Vi kan pröva med vilka som helst andra två rotationer och vi finner alltid samma överensstämmelse. Men:

— Gäller detta även med en tredje rotation inkluderad?

— Ja. Det gör det.

Om vi tittar på föregående gyroläge 2, och tänker oss att i detta läge påföra en zW-rotation via RotII (vi sätter den här till 45ºzW), då inser vi, via tillbakarotationerna för att få nollställning, att slutläget blir detsamma som att se gyrot från dess Z-plan i gyrobild 2 (den svagare delen i mittbilden nedan motsvarar 45ºzW) ;

	Gyro 2	gyrobild 2	gyrobild 3

RotI	30ºxW, –15ºyW		45ºzW, 30ºxW, –15ºyW
RotII	–15ºxW, 30ºyW		–15ºyW, 30ºxW, 45ºzW

SOM VI SER är detta helt (trivialt) ekvivalent med att vi i RotI börjar med den slutliga zW från RotII. Detta är fullständigt klart (tänk in den sista RotII-rotationen som mittbilden ovan antyder, denna ingår därmed sedan ‘naturligt’ med utgångspunkt från RotI, resultatet kan vi studera i högerbilden), och om vi gör på samma sätt med andra rotationsordningar (= andra namn på axlarna) finner vi naturligtvis exakt samma princip och ordning. Sålunda :

rotationssatsen

RotI och RotII ger exakt samma resultat om samma vinklar och värden från det ena rotationskomplexet tas i omvänd ordning mot det andra.

Ovanstående i syntes

Om vi först studerar sekvensen för RotI — rotation av det inre gyroobjektet i det yttre fasta 3-ringade bildsystemet med dess fasta xyz-axlar

— enligt 30°xW och sedan –15°yW

— vilket ger det utroterade X-planets cirkel precis skärande 15°-strecket på den fasta yW-ringens skala

— ser vi tämligen enkelt att precis samma slutläge fås i RotII

— systemaxlarna följer med

— om vi börjar med –15°yW och sedan utför 30°xW.

Med detta fattat kan vi nu framgångsrikt studera tre rotationer och se att precis samma principiella ordning gäller:

I ovanstående sista bild (höger) lägger vi på en initierande 45°-rotation, översta raden med RotI; vi ser (om vi tänker efter en stund) att detta kan göras ENKELT genom att rotera gyrokuben ovan i sista bilden 45°zW vilket ger oss slutbilden nedan längst till höger,

Genomför vi sedan slutligen en återrotation genom RotI — vi börjar med minus 45°zW, sedan minus 30°xW och sist plus 15°yW — kan vi för varje sådan återrotation följa i detalj och se att vi också verkligen återställer gyrot i nolläge. Och alltså gäller rotationssatsen som ovan.

Ett motsvarande algebraiskt bevis finns också, men det är (betydligt) mera krävande då det förutsätter bekantskap med den speciella matematiken i RotII — som kräver (åtskilligt) utrymme. Det är också underligt att inget alls tycks finnas på webben (ännu November 2008) som ens ger en elementär orientering i ämnet — frånsett högskolematematikens matriser och determinanter förstås. Men dessa har ingen representation i Universums Historia.

I modern akademi verkar det inte finnas något utvecklat rationellt beskrivande vokabulär för de två skilda rotationskomplexen; man känner till dem (se Konventionell beskrivning av de två rotationskomplexen inom 3D-geometrin), men man tycks inte kunna beskriva saken med andra ord än genom högskolematematikens matrisbegrepp — vilket garanterat portar de allra flesta människor från ämnet. Märkligt är det.